Дифференциальное уравнение Бернулли
Обыкновенное дифференциальное уравнение вида:
- [math]\displaystyle{ y'+ a(x)y = b(x)y^n,\quad n \neq 0,\,1 }[/math]
называется уравнением Бернулли (при [math]\displaystyle{ n=0 }[/math] или [math]\displaystyle{ n=1 }[/math] получаем неоднородное или однородное линейное уравнение).
При [math]\displaystyle{ n=2 }[/math] является частным случаем уравнения Риккати. Названо в честь Якоба Бернулли, опубликовавшего это уравнение в 1695 году.
Метод решения с помощью замены, сводящей это уравнение к линейному, нашёл его брат Иоганн Бернулли в 1697 году.[1]
Метод решения
Первый способ
Разделим все члены уравнения на
- [math]\displaystyle{ y^n, }[/math]
получим
- [math]\displaystyle{ \frac{dy}{dx}\! y^{-n} + a(x)y^{1-n} = b(x). }[/math]
Делая замену
- [math]\displaystyle{ z = y ^ {1-n} }[/math]
и дифференцируя, получаем:
- [math]\displaystyle{ \frac{dz}{dx}=(1-n)y^{-n} \frac{dy}{dx}. }[/math]
Это уравнение приводится к линейному:
- [math]\displaystyle{ \frac{dz}{dx} + (1-n)a(x) z = (1-n)b(x) }[/math]
и может быть решено методом Лагранжа (вариации постоянной) или методом интегрирующего множителя.
Второй способ
Заменим
- [math]\displaystyle{ y = uv, }[/math]
тогда:
- [math]\displaystyle{ \dot{u}v + u(\dot{v} + a(x) v) = b(x) (uv)^n. }[/math]
Подберем [math]\displaystyle{ v(x) \not\equiv 0 }[/math] так, чтобы было
- [math]\displaystyle{ \dot{v} + a(x) v = 0, }[/math]
для этого достаточно решить уравнение с разделяющимися переменными 1-го порядка. После этого для определения [math]\displaystyle{ u }[/math] получаем уравнение [math]\displaystyle{ \frac{\dot{u}}{u^n} = b(x)v^{n-1} }[/math] — уравнение с разделяющимися переменными.
Пример
Уравнение
- [math]\displaystyle{ y' - \frac{2y}{x} = -x^2y^2 }[/math]
разделим на [math]\displaystyle{ y^2, }[/math] получаем:
- [math]\displaystyle{ y'y^{-2} - \frac{2}{x}y^{-1} = -x^2. }[/math]
Замена переменных
- [math]\displaystyle{ w = \frac{1}{y} }[/math]
дает:
- [math]\displaystyle{ w' = \frac{-y'}{y^2}, }[/math]
- [math]\displaystyle{ w' + \frac{2}{x}w = x^2. }[/math]
- [math]\displaystyle{ M(x)= e^{-2\int \frac{1}{x}dx} = x^{-2}. }[/math]
Делим на [math]\displaystyle{ M(x) }[/math],
- [math]\displaystyle{ w'x^2 + 2xw = x^4, }[/math]
- [math]\displaystyle{ \int (wx^2)' dx = \int x^4 dx }[/math]
- [math]\displaystyle{ wx^2 = \frac{1}{5}x^5 + C }[/math]
- [math]\displaystyle{ \frac{1}{y}x^2 = \frac{1}{5}x^5 + C. }[/math]
Результат:
- [math]\displaystyle{ y = \frac{x^2}{\frac{1}{5}x^5 + C}. }[/math]
Литература
- А. Ф. Филиппов. Сборник задач по дифференциальным уравнениям, — Любое издание.
- В. В. Степанов. Курс дифференциальных уравнений, — Любое издание.
- Зеликин М. И. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении, — Факториал, Москва, 1998.
Примечания
- ↑ Зеликин М. И. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении, — Факториал, Москва, 1998.